2023年，当我再次翻阅常庚哲与史济怀两位大师合著的《数学分析教程》时，心中不禁涌起一股敬畏之情。这本书，自2018年从北京背回，便一直伴随着我，成为我思考数学与人生的宝贵财富。如今，我终于有机会细细品味其中的每一个章节，感受那份深入与透彻的思考。
常老师的女儿是我大学时期的同宿舍好友，几十年来，我得到了他们一家人的关心与帮助。九十年代早期，我多次造访常老师家，有一次，我注意到他门上贴着一张便条，提醒出门前检查水电开关等事项。那时，他或许正在为这本书的编写而忙碌。如今，阅读常老师的文字，仿佛继续聆听他的教诲，何其有幸。
正如徐冰所言，素描的本质在于让人从粗糙变得精致，训练有素，从而体会到更深入的部分，获得对“大”事物的观察方法。重读常老师的这本书，我不再是为了做题考试，也不是为了学习数学或做研究，仅仅是为了内心的愉悦。年轻时严谨认真地学习数学和科学，让我深刻体会到，这些学科的根本好处在于帮助我们变得“精致”、“训练有素”、“深入”，并获得对“大”事物的观察方法。
在《数学分析教程》的第一章第一段，常老师便从数学分析的历史谈起，引导我们如何进行数学思考。他提到，虽然古代已经产生了微积分的朴素思想，但作为一门学科，微积分则建立于17世纪下半叶。英国、法国和德国的数学家们为此作出了杰出贡献。然而，创立微积分的大师们虽然解决了许多难题，却未能为自己的方法奠定无懈可击的理论基础，这引发了长达一个多世纪的混乱和争论。
直到19世纪初，严格的极限理论和实数体系的连续性得以确定，一切混乱和误解才得以澄清。这段历史告诉我们，具备朴素的思想和解决难题的方法还不够，必须有无懈可击的理论基础才行。这个基础，是在一个多世纪的混乱争论中，通过数学家群体的不懈奋斗而得以奠定的。
在解决问题的过程中，我们不能仅仅满足于朴素的认识或直觉的观点，而应该追求严谨的基础和逻辑自洽的体系。一种方法，在寻求严谨基础的过程中，会不断完善，成为体系的进一步中间结果。这种不断完善的过程，正是思维的进阶之路。
在1.2节中，常老师对“当n越来越大时，项An将与实数0.3333….=1/3越来越近”的说法进行了评论。他指出，这种说法含糊不清，容易招致误解。他强调，我们必须给出一个明确的定义，否则任何科学的、有价值的讨论都不可能进行下去。
这一点，在近年来我读到的许多理工科专业训练者对文科领域研究的文章中得到了印证。我发现，这些作者对于用自然语言理解定义的概念，如“心”、“理”等，常常缺少深入的思考，经常望文生义，根据自己的主观理解就理直气壮地使用起来。这样的研究，除了浪费资源外，毫无意义。
反过来想，一些持有后现代思想的文科知识分子，在对于某项科学研究或某个概念进行解读时，也往往缺乏严谨的定义和深入的剖析。这提醒我们，无论是在数学领域还是在其他领域，明确的概念和定义都是科学讨论的基石。
总之，《数学分析教程》不仅是一本数学教材，更是一本引导我们深入与透彻思考的宝典。它教会我们如何从朴素的思想出发，通过严谨的方法和理论基础，达到思维的进阶。同时，它也提醒我们，在科学讨论中，明确的概念和定义是不可或缺的。
